【控制理论】滑模控制方法基本概念介绍

滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)是一种经典的非线性控制方法,以其对参数不确定性和外部扰动的强鲁棒性著称。本文从滑模控制的基本构成出发,简要介绍以下关键概念:相对度、滑模阶、等效控制、切换控制、趋近律、高阶滑模、STA算法、连续控制输入、抖振问题、非线性滑模面设计,并通过示例阐明各概念间的逻辑关联。


1. 相对度(Relative Degree)

定义

在控制系统中,相对度指的是控制输入第一次在滑模面导数中显式出现的导数阶数。对于滑模控制器设计而言,滑模面相对于控制输入的相对度为 1 是一个重要的可控性条件。

数学表示

若 $$ \frac{d^r s(x)}{dt^r} = f(x) + g(x) u $$ 中首次出现控制输入 $u$,则称系统对滑模面 $s(x)$ 的相对度为 $r$

示例

若滑模面为

$$ s(x) = c^\top x, $$

对其求导得

$$ \dot{s}(x,u) = \frac{\partial s}{\partial x} \cdot \dot{x} = f(x) + g(x)u, $$

若此时控制输入 $u$ 显式出现在 $\dot{s}$ 中,则相对度为 1。

具体设系统为

$$ \dot{x}_1 = x_2,\quad \dot{x}_2 = u, $$

取滑模面为 $s = x_2 + \lambda x_1$,则

$$ \dot{s} = \dot{x}_2 + \lambda \dot{x}_1 = u + \lambda x_2. $$

控制输入 $u$ 直接出现在 $\dot{s}$ 中,相对度为 1。

重要性

相对度决定了滑模控制器设计的起点。相对度为 1 是传统一阶滑模控制得以设计的基础。


2. 滑模阶(Order of Sliding Mode)

定义

滑模阶定义为滑模面连续零导数的阶数。即系统运动满足

$$ s = \dot{s} = \dots = s^{(r-1)} = 0, $$

则称系统处于$r$阶滑模模式。

  • 一阶滑模控制:仅强制 $s = 0$
  • 二阶滑模控制:强制 $s = \dot{s} = 0$
  • 高阶滑模控制(HOSMC):通常用于处理 相对度 $>$ 1 的系统,或减少控制抖振

示例

经典 SMC 控制器只能保证一阶滑模,即系统状态最终保持在滑模面上但可能产生震荡;
高阶滑模控制器(如 Super-Twisting)能进一步保证 $\dot{s} = 0$,提高平滑性。


滑模控制通常包含两部分:等效控制切换控制。这两者并非简单地先后作用,而是在系统控制输入中同时起作用

3. 等效控制(Equivalent Control)

作用

设定系统处于滑模状态 $s(x) = 0$ 时的理想控制输入,使系统状态保持在滑模面上

设计步骤

  1. 选取滑模面 $s(x)$
  2. 对 $s$ 求导,得到: $$ \dot{s}(x, u) = \frac{\partial s}{\partial x} f(x) + \frac{\partial s}{\partial x} g(x) u $$
  3. 令 $\dot{s} = 0$,解出: $$ u_{\text{eq}} = -\left( \frac{\partial s}{\partial x} g(x) \right)^{-1} \frac{\partial s}{\partial x} f(x) $$

示例

对系统 $\dot{x} = a x + b u$,设滑模面 $s = x$: $$ \dot{s} = a x + b u = 0 \quad \Rightarrow \quad u_{\text{eq}} = -\frac{a}{b} x $$


4. 切换控制与趋近律(Switching Control & Reaching Law)

作用

切换控制用于驱动系统状态快速进入滑模面,即驱动系统从任意初始状态收敛至滑模面 $s = 0$。趋近律定义了滑模控制中误差变量 $s$ 收敛到滑模面的速率,是切换控制的具体实施形式。使用等速趋近律的切换控制常用符号函数形式,如: $$ u_{sw} = -k \cdot \text{sign}(s) $$

此项保证系统从任意初始状态能进入滑模面,是系统收敛的关键。

完整控制器

$$ u = u_{eq} + u_{sw} $$

常用趋近律

  • 等速趋近律

    $$ \dot{s} = -k\cdot \text{sign}(s) $$

  • 指数趋近律

    $$ \dot{s} = -k_1 s – k_2 \cdot \text{sign}(s) $$

示例

考虑系统 $\dot{x} = u$,滑模面 $s = x$,则

  • 等效控制 $u_{eq} = 0$
  • 切换控制 $u = -k\cdot \text{sign}(x)$

这种方式确保状态快速趋近到 $x=0$。


5. 抖振问题与连续控制输入

由于切换控制使用不连续的符号函数(如 $\text{sign}(s)$),会导致高频切换,产生抖振(Chattering),影响实际系统的稳定性与执行器寿命。

为减少抖振,有以下几种策略:

  • 符号函数替代为饱和函数(sat)
  • 边界层法(boundary layer approach)
  • 引入连续控制器(如 Super-Twisting)

6. 高阶滑模控制(HOSMC)

引入动因

  1. 系统相对度 $> 1$,控制输入在 $\ddot{s}$ 或更高阶导中才出现。
  2. 传统滑模控制无法直接设计控制律。
  3. 控制输入希望连续(避免抖振),但一阶 SMC 做不到。

核心思想

将控制输入设计在 $s$ 的$r$阶导数中,并构造连续控制律,使系统状态进入并保持在高阶滑模面上。


7. Super-Twisting 算法(STA)

Super-Twisting 是经典高阶滑模控制器,适用于相对度为 1的系统,控制目标为实现二阶滑模

控制律结构

$$ u = -k_1 |s|^{1/2} \cdot \text{sign}(s) + v, \dot{v} = -k_2 \cdot \text{sign}(s) $$

其中:

  • $u$ 为控制输入,连续
  • $v$ 引入积分动态,提升控制的鲁棒性和收敛性
  • 增益 $k_1,k_2$ 根据系统扰动(导数)上界选取

特点

特性 描述
抖振消除 控制输入 $u$ 连续,执行器友好
鲁棒性强 对建模不确定性与扰动有鲁棒性
快速收敛 在有限时间内进入二阶滑模
可扩展性 可用于构造状态观测器、导数估计器等结构

示例

设 $s = \dot{x} + \lambda x$,设计 STA 控制器,保证 $x \to 0$,$\dot{x} \to 0$,且无高频抖振。


8. STA 与传统滑模的关系

STA 结构中,第一项提供快速收敛,第二项提供平滑补偿,两者协同维持滑模。设计过程与传统 SMC 略微不同,可以不用切换项显式分离


9. Super-Twisting 算法的局限性

滑模控制的设计目标是让系统状态沿着预先设计的滑模面 $s = 0$ 运动,从而实现误差收敛。Super-Twisting 算法(STA)作为高阶滑模控制的重要代表,极大地改善了传统一阶滑模控制的抖振问题,实现了对滑模变量及其导数的连续控制。

然而,必须明确的是:

  • STA的收敛目标是滑模变量 $s$ 及其导数 $\dot{s}$ 的有限时间收敛,即系统状态被吸引并保持在滑模面上。
  • 但 $s = 0$ 并不等价于系统误差 $e$ 本身的快速或有限时间收敛,因为滑模面是误差状态的某种组合,且其设计形式直接影响误差动态。

STA对滑模变量和误差收敛的区别

收敛对象 解释 局限
滑模变量 $s$ 滑模面函数,控制器保证 $s \to 0$ 及 $\dot{s} \to 0$ 只保证状态进入滑模面,不保证误差 $e$ 达到预期收敛速度或性质
误差变量 $e$ 系统真正控制目标,期望有限时间、固定时间等强收敛性能 需合理设计滑模面,否则误差仅指数收敛且收敛速度难调节

因此,仅有 STA 控制滑模变量收敛,而不配合合适滑模面设计,难以满足更严格的误差收敛性能要求。


非线性滑模面设计的必要性

为弥补 STA 在误差收敛性能上的局限,可以引入非线性滑模面,通过设计非线性函数形式的滑模面,使得:

  • 滑模面上的误差动态具备有限时间收敛甚至固定时间收敛特性;
  • 误差 $e$ 的收敛速度可通过滑模面参数灵活调节;
  • 实现误差收敛与滑模变量收敛的“统一”并强化控制目标。

常见非线性滑模面设计思路

  1. 幂函数滑模面

    $$ s = \dot{e} + \lambda |e|^{\alpha} \operatorname{sign}(e), \quad 0 < \alpha < 1 $$

    • 利用非整数幂函数提升误差收敛速度,实现有限时间收敛。
    • 例如设 $\alpha = \frac{1}{2}$,误差动态呈现强非线性衰减。
  2. 终端滑模面(Terminal Sliding Mode, TSM)

    $$ s = \dot{e} + \lambda e^{\beta}, \quad 0 < \beta < 1 $$

    • 幂次函数减少收敛时间,增强鲁棒性。
    • 设计较复杂,但收敛速度可预估。
  3. 固定时间滑模面

    $$ s = \dot{e} + k_1 |e|^{\alpha} \operatorname{sign}(e) + k_2 |e|^{\beta} \operatorname{sign}(e), \quad 0 < \beta < 1 < \alpha $$

    • 结合多项幂指数,实现收敛时间与初值无关的固定时间收敛。
    • 适合高性能控制需求。
  4. 带积分或自适应项的滑模面

    • 通过积分反馈或自适应参数调节,增强鲁棒性,提升误差收敛性能。

小结表格

概念 说明 设计意义
STA滑模变量收敛 保证 $s, \dot{s}$ 有限时间收敛 控制输入连续,消除抖振
误差收敛 真正控制目标,依赖滑模面设计 非线性滑模面实现有限/固定时间收敛,提高性能
非线性滑模面设计 幂函数、终端滑模、固定时间滑模等方法 解决 STA 对误差收敛速度的限制
设计启示 控制输入连续性与滑模面设计需共同考虑 滑模面与控制律设计决定系统整体性能

本文仅介绍了超级扭曲算法(STA)的基本概念。在实际应用中,其抑制扰动与系统不确定性的能力,以及控制参数的选择方式,均可通过严格的理论分析予以证明。此外,为了避免对扰动上界的先验知识依赖,可引入自适应机制进行在线估计;若希望进一步简化系统在趋近阶段的动态演化过程,则可以考虑构造积分型滑模面,从而提升系统的整体鲁棒性与响应性能。

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