滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)是一种经典的非线性控制方法,以其对参数不确定性和外部扰动的强鲁棒性著称。本文从滑模控制的基本构成出发,简要介绍以下关键概念:相对度、滑模阶、等效控制、切换控制、趋近律、高阶滑模、STA算法、连续控制输入、抖振问题、非线性滑模面设计,并通过示例阐明各概念间的逻辑关联。
1. 相对度(Relative Degree)
定义
在控制系统中,相对度指的是控制输入第一次在滑模面导数中显式出现的导数阶数。对于滑模控制器设计而言,滑模面相对于控制输入的相对度为 1 是一个重要的可控性条件。
数学表示
若 $$ \frac{d^r s(x)}{dt^r} = f(x) + g(x) u $$ 中首次出现控制输入 $u$,则称系统对滑模面 $s(x)$ 的相对度为 $r$。
示例
若滑模面为
$$ s(x) = c^\top x, $$
对其求导得
$$ \dot{s}(x,u) = \frac{\partial s}{\partial x} \cdot \dot{x} = f(x) + g(x)u, $$
若此时控制输入 $u$ 显式出现在 $\dot{s}$ 中,则相对度为 1。
具体设系统为
$$ \dot{x}_1 = x_2,\quad \dot{x}_2 = u, $$
取滑模面为 $s = x_2 + \lambda x_1$,则
$$ \dot{s} = \dot{x}_2 + \lambda \dot{x}_1 = u + \lambda x_2. $$
控制输入 $u$ 直接出现在 $\dot{s}$ 中,相对度为 1。
重要性
相对度决定了滑模控制器设计的起点。相对度为 1 是传统一阶滑模控制得以设计的基础。
2. 滑模阶(Order of Sliding Mode)
定义
滑模阶定义为滑模面连续零导数的阶数。即系统运动满足
$$ s = \dot{s} = \dots = s^{(r-1)} = 0, $$
则称系统处于$r$阶滑模模式。
- 一阶滑模控制:仅强制 $s = 0$
- 二阶滑模控制:强制 $s = \dot{s} = 0$
- 高阶滑模控制(HOSMC):通常用于处理 相对度 $>$ 1 的系统,或减少控制抖振
示例
经典 SMC 控制器只能保证一阶滑模,即系统状态最终保持在滑模面上但可能产生震荡;
高阶滑模控制器(如 Super-Twisting)能进一步保证 $\dot{s} = 0$,提高平滑性。
滑模控制通常包含两部分:等效控制与切换控制。这两者并非简单地先后作用,而是在系统控制输入中同时起作用。
3. 等效控制(Equivalent Control)
作用
设定系统处于滑模状态 $s(x) = 0$ 时的理想控制输入,使系统状态保持在滑模面上。
设计步骤
- 选取滑模面 $s(x)$
- 对 $s$ 求导,得到: $$ \dot{s}(x, u) = \frac{\partial s}{\partial x} f(x) + \frac{\partial s}{\partial x} g(x) u $$
- 令 $\dot{s} = 0$,解出: $$ u_{\text{eq}} = -\left( \frac{\partial s}{\partial x} g(x) \right)^{-1} \frac{\partial s}{\partial x} f(x) $$
示例
对系统 $\dot{x} = a x + b u$,设滑模面 $s = x$: $$ \dot{s} = a x + b u = 0 \quad \Rightarrow \quad u_{\text{eq}} = -\frac{a}{b} x $$
4. 切换控制与趋近律(Switching Control & Reaching Law)
作用
切换控制用于驱动系统状态快速进入滑模面,即驱动系统从任意初始状态收敛至滑模面 $s = 0$。趋近律定义了滑模控制中误差变量 $s$ 收敛到滑模面的速率,是切换控制的具体实施形式。使用等速趋近律的切换控制常用符号函数形式,如: $$ u_{sw} = -k \cdot \text{sign}(s) $$
此项保证系统从任意初始状态能进入滑模面,是系统收敛的关键。
完整控制器
$$ u = u_{eq} + u_{sw} $$
常用趋近律
-
等速趋近律:
$$ \dot{s} = -k\cdot \text{sign}(s) $$
-
指数趋近律:
$$ \dot{s} = -k_1 s – k_2 \cdot \text{sign}(s) $$
示例
考虑系统 $\dot{x} = u$,滑模面 $s = x$,则
- 等效控制 $u_{eq} = 0$
- 切换控制 $u = -k\cdot \text{sign}(x)$
这种方式确保状态快速趋近到 $x=0$。
5. 抖振问题与连续控制输入
由于切换控制使用不连续的符号函数(如 $\text{sign}(s)$),会导致高频切换,产生抖振(Chattering),影响实际系统的稳定性与执行器寿命。
为减少抖振,有以下几种策略:
- 符号函数替代为饱和函数(sat)
- 边界层法(boundary layer approach)
- 引入连续控制器(如 Super-Twisting)
6. 高阶滑模控制(HOSMC)
引入动因
- 系统相对度 $> 1$,控制输入在 $\ddot{s}$ 或更高阶导中才出现。
- 传统滑模控制无法直接设计控制律。
- 控制输入希望连续(避免抖振),但一阶 SMC 做不到。
核心思想
将控制输入设计在 $s$ 的$r$阶导数中,并构造连续控制律,使系统状态进入并保持在高阶滑模面上。
7. Super-Twisting 算法(STA)
Super-Twisting 是经典高阶滑模控制器,适用于相对度为 1的系统,控制目标为实现二阶滑模。
控制律结构
$$ u = -k_1 |s|^{1/2} \cdot \text{sign}(s) + v, \dot{v} = -k_2 \cdot \text{sign}(s) $$
其中:
- $u$ 为控制输入,连续
- $v$ 引入积分动态,提升控制的鲁棒性和收敛性
- 增益 $k_1,k_2$ 根据系统扰动(导数)上界选取
特点
特性 | 描述 |
---|---|
抖振消除 | 控制输入 $u$ 连续,执行器友好 |
鲁棒性强 | 对建模不确定性与扰动有鲁棒性 |
快速收敛 | 在有限时间内进入二阶滑模 |
可扩展性 | 可用于构造状态观测器、导数估计器等结构 |
示例
设 $s = \dot{x} + \lambda x$,设计 STA 控制器,保证 $x \to 0$,$\dot{x} \to 0$,且无高频抖振。
8. STA 与传统滑模的关系
STA 结构中,第一项提供快速收敛,第二项提供平滑补偿,两者协同维持滑模。设计过程与传统 SMC 略微不同,可以不用切换项显式分离
9. Super-Twisting 算法的局限性
滑模控制的设计目标是让系统状态沿着预先设计的滑模面 $s = 0$ 运动,从而实现误差收敛。Super-Twisting 算法(STA)作为高阶滑模控制的重要代表,极大地改善了传统一阶滑模控制的抖振问题,实现了对滑模变量及其导数的连续控制。
然而,必须明确的是:
- STA的收敛目标是滑模变量 $s$ 及其导数 $\dot{s}$ 的有限时间收敛,即系统状态被吸引并保持在滑模面上。
- 但 $s = 0$ 并不等价于系统误差 $e$ 本身的快速或有限时间收敛,因为滑模面是误差状态的某种组合,且其设计形式直接影响误差动态。
STA对滑模变量和误差收敛的区别
收敛对象 | 解释 | 局限 |
---|---|---|
滑模变量 $s$ | 滑模面函数,控制器保证 $s \to 0$ 及 $\dot{s} \to 0$ | 只保证状态进入滑模面,不保证误差 $e$ 达到预期收敛速度或性质 |
误差变量 $e$ | 系统真正控制目标,期望有限时间、固定时间等强收敛性能 | 需合理设计滑模面,否则误差仅指数收敛且收敛速度难调节 |
因此,仅有 STA 控制滑模变量收敛,而不配合合适滑模面设计,难以满足更严格的误差收敛性能要求。
非线性滑模面设计的必要性
为弥补 STA 在误差收敛性能上的局限,可以引入非线性滑模面,通过设计非线性函数形式的滑模面,使得:
- 滑模面上的误差动态具备有限时间收敛甚至固定时间收敛特性;
- 误差 $e$ 的收敛速度可通过滑模面参数灵活调节;
- 实现误差收敛与滑模变量收敛的“统一”并强化控制目标。
常见非线性滑模面设计思路
-
幂函数滑模面
$$ s = \dot{e} + \lambda |e|^{\alpha} \operatorname{sign}(e), \quad 0 < \alpha < 1 $$
- 利用非整数幂函数提升误差收敛速度,实现有限时间收敛。
- 例如设 $\alpha = \frac{1}{2}$,误差动态呈现强非线性衰减。
-
终端滑模面(Terminal Sliding Mode, TSM)
$$ s = \dot{e} + \lambda e^{\beta}, \quad 0 < \beta < 1 $$
- 幂次函数减少收敛时间,增强鲁棒性。
- 设计较复杂,但收敛速度可预估。
-
固定时间滑模面
$$ s = \dot{e} + k_1 |e|^{\alpha} \operatorname{sign}(e) + k_2 |e|^{\beta} \operatorname{sign}(e), \quad 0 < \beta < 1 < \alpha $$
- 结合多项幂指数,实现收敛时间与初值无关的固定时间收敛。
- 适合高性能控制需求。
-
带积分或自适应项的滑模面
- 通过积分反馈或自适应参数调节,增强鲁棒性,提升误差收敛性能。
小结表格
概念 | 说明 | 设计意义 |
---|---|---|
STA滑模变量收敛 | 保证 $s, \dot{s}$ 有限时间收敛 | 控制输入连续,消除抖振 |
误差收敛 | 真正控制目标,依赖滑模面设计 | 非线性滑模面实现有限/固定时间收敛,提高性能 |
非线性滑模面设计 | 幂函数、终端滑模、固定时间滑模等方法 | 解决 STA 对误差收敛速度的限制 |
设计启示 | 控制输入连续性与滑模面设计需共同考虑 | 滑模面与控制律设计决定系统整体性能 |
本文仅介绍了超级扭曲算法(STA)的基本概念。在实际应用中,其抑制扰动与系统不确定性的能力,以及控制参数的选择方式,均可通过严格的理论分析予以证明。此外,为了避免对扰动上界的先验知识依赖,可引入自适应机制进行在线估计;若希望进一步简化系统在趋近阶段的动态演化过程,则可以考虑构造积分型滑模面,从而提升系统的整体鲁棒性与响应性能。